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L'objet de cette page est de présenter une étude personnelle du problème de Syracuse. Après une introduction du problème dans sa forme classique, différents points de vue - heuristique, combinatoire, géométrique, musical - seront esquissés. Une étude basée sur une extension réelle et complexe sera développée, puis généralisée. Des diagrammes de bifurcation seront présentés. Enfin nous décrirons la dynamique asymptotique ainsi obtenue.



Séquences de Collatz

Une séquence de Collatz s'obtient à partir d'un entier n de départ auquel on applique de manière itérative la fonction



Par exemple, si l'on part de la valeur n = 7, on obtiendra la suite :
7 ; 22 ; 11 ; 34 ; 17 ; 52 ; 26 ; 13 ; 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1 …

Cette suite boucle indéfiniment sur le cycle {1 ; 4 ; 2}. Et cela semble se produire quelque soit la valeur choisie initialement, bien que le nombre d'étapes soit parfois étonnement élevé avant d'y parvenir. Par exemple, la valeur 27 génère une suite de 111 termes différents.

La conjecture de Syracuse est que toute itération de cette fonction à partir d’un entier naturel non-nul aboutit invariablement à la valeur 1. Elle a été formulée par Lothar Collatz et a commencé à circuler avant d'être diffusée à l'université de Syracuse.

Tomás Oliveira e Silva a vérifié par ordinateur que la conjecture est vraie pour tout entier n < 5*1018.

Néanmoins,ce problème n'a pas encore été résolu à ce jour. Les nombreuses recherches [Lag-I] [Lag-II] qu'il a suscitées ont donné lieu à plusieurs avancées significatives. Par exemple, Shalom Eliahou [Eli93] [Eli11] a montré que s'il existe un autre cycle que
{1 ; 4 ; 2}, alors sa longueur est supérieure à 1,7*1010 en tenant compte du dernier seuil de vérification atteint par Oliveira e Silva.

Un autre résultat notable, obtenu par David Applegate et Jeffrey Lagarias
[App95], est que le nombre d'entiers inférieurs à X et dont l'orbite aboutit à 1 est au moins égal à X0,81 pour tout entier X suffisamment grand.

Par ailleurs, il est possible que la conjecture de Syracuse soit vraie tout en étant impossible à démontrer, ce qui en ferait un problème indécidable.


Argumentation heuristique

Essayons de comprendre pourquoi la suite de Collatz a tendance à décroître, quel que soit le point initial.

Un entier n choisi au hasard a une chance sur deux d'être pair. Dans ce cas, il sera divisé par 2, sinon il sera multiplié par 3 et augmenté de 1. Le terme suivant a-t-il lui aussi une chance sur deux d'être pair ? La réponse est non : dans le 2ème cas, la valeur 3n+1 est toujours paire.

Pour cette raison, il est souvent convenu de remplacer la fonction C par la fonction :

tex_collatz2_5.png

Par exemple, la valeur n=7 produira cette fois la suite accélérée :
7 ; 11 ; 17 ; 26 ; 13 ; 20 ; 10 ; 5 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1 .

On aboutit alors au cycle {1 ; 2}.

A présent, il semble que les images successives d'un entier arbitrairement grand par la fonction T ont autant de chance d'être paires que d'être impaires. Cela revient à dire que le terme courant est multiplié par 1/2 ou par 3/2 avec la même probabilité 1/2 à chaque itération. En moyenne géométrique, le facteur multiplicatif est égal à (1/2)^(1/2)*(3/2)^(1/2)sqrt(3)/2 = 0,866... [Bar98].

On peut donc s'attendre à voir décroître les suites de Collatz. Evidemment, cet argument est d'ordre spéculatif et il ne s'agit nullement d'une preuve. Toutefois des calculs numériques suggèrent que l'on capture de cette manière l'essentiel de la dynamique asymptotique. En échelle logarithmique, les trajectoires s'apparentent à une  marche aléatoire à une dimension. Comme les pas descendants sont plus grands, on dira que la marche aléatoire est anisotrope.

Par un raisonnement heuristique similaire, Richard Crandall [Cra78] a estimé que le rapport entre deux termes impairs est en moyenne égal à 3/4.

Note : on s'amusera à vérifier qu'un joueur qui miserait systématiquement la moitié de ce qu'il possède à quitte-ou-double en jouant à pile-ou-face a de fortes chances de s'appauvrir (à moins qu'il ne fasse sauter la banque, mais c'est peu probable...). Cela ressemble à une martingale inversée ...

De faît, Riho Terras [Ter76] [Ter79] a prouvé que l'ensemble des entiers dont l'orbite ne descend jamais plus bas que l'entier de départ a une densité nulle dans l'ensemble des entiers naturels.

Marches aléatoires

Le concept de marche alétoire a été exploité pour construire des modèles probabilistes (ou stochastiques) du problème de Syracuse. L'objectif est de mieux comprendre la dynamique des itérations, caractérisée par deux indicateurs :
  • le temps de vol, noté sigma_inf(n),
  • l'altitude maximale, notée t(n).
Ces indicateurs s'appliquent à l'entier de départ n d'une séquence d'itérations de la fonction T qui se termine en 1. Le premier correspond à la longeur de la séquence (c'est-à-dire le nombre d'itérations), tandis que le second est le terme le plus élevé de la séquence issue de n.

A titre d'exemple, on a pour l'entier n=27 les valeurs étonnament élevées
sigma_inf(27)=70 et t(27)=4616.

Grâce à la théorie probabiliste des grandes déviations, le modèle de marche aléatoire
[Lag11] a permis d'estimer, asymptotiquement, une borne supérieure pour chacun des indicateurs précédents :
  • \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma_{\infty}(n)}{\ln n} = \gamma \approx 41.677
  • \limsup_{n \to \infty} \frac{\ln t(n)}{\ln n} = 2
Ces prédictions sont conformes aux résultats numériques sur les séquences du problème de Syracuse. Cela suggère que le nombre d'étapes pour atteindre la valeur 1 est toujours fini et borné par une fonction qui croît comme ln n.

Entropie binaire

Un moyen simple de décrire la dynamique d'une séquence qui part de l'entier n consiste à noter les parités successives des termes qui la composent sous la forme d'une suite de '0' et de '1'. Une telle suite se nomme vecteur parité associé à n.

Par exemple, l'entier n=7 conduit au vecteur parité (1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0) sur 10 itérations de T.

Un résultat de Riho Terras [Ter76] affirme que tout vecteur parité de longueur j est associé à exactement un entier compris entre 1 et 2j. On en déduit que le nombre d'entiers entre 1 et 2j qui génèrent q termes impairs sur j itérations s'exprime au moyen du coefficient binomial :
\binom{j}{q}.

On peut alors s'intéresser à la répartition de ces entiers entre 1 et 2j, et l'on constate que cette répartition semble souvent aléatoire lorsque j/2 < q < j. Cela nous amène à formuler une hypothèse [Roz17] sur la borne inférieure de cette famille d'entiers grâce à la fonction d'entropie binaire
H(x) = -x \log_{2}(x) - (1-x) \log_{2}(1-x).

On retrouve alors les mêmes estimations que les modèles stochastiques concernant les valeurs maximales du temps de vol
sigma_inf(n), et de l'altitude maximale t(n) d'un entier n. De plus, on montre que la constante γ vérifie
γ = 1/(ln2 - r ln3),
où r=0.609... est l'unique solution non-nulle de l"équation
H(r) ln 2 = r ln 3.

Représentation géométrique

Une réprésentation possible des itérations de la fonction T(n) est de placer les entiers sur une spirale, de telle sorte que les entiers qui se déduisent les uns des autres par une multiplication ou une division par une puissance de 2 soient tous alignés. On relie ensuite chaque entier n à son image T(n) par un segment de droite, rouge si l'entier de départ est pair, et vert s'il est impair.
Plus précisement, chaque entier n>0 aura pour coordonnées polaires  :
rn = n
thetan = 2pi ln(n) / ln(2)

Ainsi, l'ensemble des entiers se positionnera sur la spirale logarithmique d'équation : r = 2^(theta / (2 Pi))

Ensuite, afin d'éviter que les segments ne se croisent dans le plan, nous ferons appel à la 3ème dimension et affecterons une hauteur à chaque entier n :
zn = n

Nous obtenons alors une spirale ascendante, qui s'enroule autour d'un cône invisible, pointé vers le bas.


Liens entre les entiers de 1 à 256, vue de haut

Liens entre les entiers de 1 à 256, vue de profil


Analogie musicale

Il existe une forte analogie entre le problème de Syracuse et la théorie musicale. Considérons en effet les entiers comme des notes de musique caractérisées par leur fréquence. Ainsi, la division par 2 d'un entier pair revient à descendre d'une octave. Tandis qu'une multiplication par 3/2 d'un entier impair s'apparente à une quinte. La gamme pythagoricienne est précisément basée sur les deux accords jugés les plus harmonieux que sont l'octave et la quinte. Une gamme de 12 notes a été définie et largement utilisée car une série de 12 quintes aboutit à un son très proche du son de départ remonté de 7 octaves. C'est le cycle des quintes. Mathématiquement, nous pouvons effectivement vérifier que (3/2)^12 = 129.746... ≈ 2^7 = 128, ou encore que ln 3/ln 2 ≈ 19/12.

Il se trouve que la recherche de cycles dans le problème de Syracuse est étroitement liée aux approximations rationnelles de ln 3/ln 2  [Cra78] [Eli93] [Roz90].

Encore aujourd'hui, nous utilisons la gamme tempérée obtenue en divisant l'octave en 12 demi-tons chromatiques égaux avec un rapport de fréquence de 2^(1/12).


Extension

L'idée est de prolonger la fonction T par une fonction continue, définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes. Cela permettra d'appliquer des outils mathématiques issus de la théorie des systèmes dynamiques, et accessoirement, de générer d'étonnantes images fractales.

Extension réelle

Il a été proposé [Aou90] [Cha96] de prolonger la fonction T(n) discrète par la fonction continue suivante, définie sur l’ensemble des nombres réels :

extension.png

Pour chaque entier n, on a f(n) = T(n).


y=phi(x)

La courbe y = f(x) est parfaitement délimitée par les droites y = x/2 et y = (3x+1)/2.

Le nombre de points fixes est infini (intersections avec la droite y=x), et seulement 2 sont attractifs : 0 et –1,277733766. Le point fixe –1 est répulsif, ainsi que les autres points fixes non-entiers.

Lorsque l’on étudie les itérations de la fonction f(x) dans l’ensemble des réels, on trouve un certain nombre de cycles attractifs dont 1 cycle entier et 5 non-entiers :

  • {1 ; 2}
  • {1,192531… ; 2,138656…}
  • {-4,998739… ; -6,998091… ; -9,997078…}
  • {-5,046002… ; -7,045307… ; -10,034865…}
  • {-16,999991… ; -24,999987… ; -36,999981… ; -54,999971… ; -81,999957…; -40,999979… ; -60,999968… ; -90,999952… ; -135,999928… ; -67,999965… ; -33,999983…}
  • {-17,002728… ; -25,003789… ; -37,004815… ; -55,005134… ; -82,004156…; -41,005552… ; -61,005247… ; -91,003760… ; -136,002482… ; -68,003302… ; -34,003467…}
A noter qu'il existe aussi 2 cycles répulsifs d'entiers négatifs :
  • {-5 ; -7 ; -10}
  • {-17 ; -25 ; -37 ; -55 ; -82 ; -41 ; -61 ; -91 ; -136 ; -68 ; -34}

La plupart des nombres réels convergent soit vers l’un des 2 points fixes attractifs, soit vers l'un des 4 cycles attractifs précédents. Mais d'autres nombres ne se comportent pas ainsi, en particulier les points fixes répulsifs.

Une question cruciale est de déterminer si certains nombres réels conduisent à une suite non-bornée. En effet, l'inexistence de telles suites aurait des implications très importantes en faveur de la conjecture de Syracuse. Cependant, Marc Chamberland [Cha96] a démontré que de telles suites de nombres réels existent, certaines ayant même une croissance monotone, et il est conjecturé que ces suites de nombres réels forment un ensemble non-dénombrable de "mesure nulle" dans l'ensemble des réels positifs.

En faît, une analyse asymptotique sur un grand nombre d'itérations de la fonction f(x) au voisinage de l'infini suggère une décroissance moyenne d'un facteur (2+sqrt(3))/4 = 0,933... à chaque itération, dans l'ensemble des réels. Mais ceci ne s'applique pas à tous les réels, et en particulier aux entiers qui ont un comportement différent de celui de la plupart des réels. 

Or, les entiers ont semble-t-il une décroissance moyenne plus rapide, puisque le rapport moyen entre deux itérés successifs de la fonction T(n) est sqrt(3)/2 =0,866... (moyenne géométrique de 1/2 et 3/2).

Il est curieux que la valeur (2+sqrt(3))/4 soit précisément égale à la moyenne arithmétique de sqrt(3)/2 et de 1.

Le grand intérêt de cette extension est que la dynamique de la fonction  f sur les réels est intrinsèquement liée à celle de la fonction T sur les entiers. Avec Nik Lygeros [Lyg14] nous avons ainsi montré que le problème de Syracuse se ramène entièrement à l'étude de la dynamique des points critiques de  f proches des entiers naturels impairs.

Interprétation géométrique

Le calcul d'une itération par l'extension réelle f peut également s'effectuer géométriquement dans un plan de la manière suivante :

Etant donné un point x sur l'axe des réels, on trace un cercle de diamètre x/2+1/4 et dont le centre se trouve sur l'axe des réels, à l'abscisse (x+1/4) .

Puis on localise sur la circonférence le point de valeur angulaire pi(x+1). L'abscisse de ce point vaut f(x).

Construction de l'image de x = 2,3 dont la valeur est f(x) = 1,7271...


Extension complexe

On peut aisément étendre le domaine d’étude à tous les nombres complexes [Aou90], puisque la fonction f est définie mathématiquement sur C.

A première vue, une telle généralisation ne simplifie pas l’étude, bien au contraire. Toutefois elle permet de visualiser les bassins d’attraction dans un espace à deux dimensions, et donc d’obtenir des images qui pourront éventuellement guider notre intuition. L’apparition de formes fractales n’est guère une surprise puisque le principe de construction est analogue aux ensembles de Julia. Nous appellerons "ensemble de Collatz" l'ensemble des orbites bornées de f dans C.

On notera la proportion importante de nombres complexes, en-dehors de l'axe des réels, conduisant à une orbite non-bornée.


Ensemble de Collatz

Visuellement, on remarque une certaine ressemblance avec l'ensemble de Mandelbrot. Mais d'un point de vue topologique, il y a de nombreuses différences : tandis que ce dernier est borné, fermé et connexe, l'ensemble de Collatz ne possède aucune de ces propriétés. Il est en faît déconnecté en une infinité de composantes très proches les unes des autres, comme des perles sur un collier dont le fil est invisible.

L'exploration de l'ensemble de Collatz au voisinage des entiers relatifs mérite le détour. Des images sont visibles ici.




Paramétrisation

Le problème de Syracuse, appelé aussi « problème 3x+1 », possède diverses variantes. Par exemple en remplaçant la valeur 3 par un entier impair q > 3, on est conduit à l'étude des « problèmes qx+1 » introduits par Crandall [Cra78]. On peut ainsi définir la fonction entière suivante :

tmap_gen.png

Lorsque q > 3, les itérations semblent globalement tendre vers l'infini, dans la plupart des cas.

En procédant comme précédemment, nous pouvons étendre la fonction Tq à l’ensemble des réels  :

extension_gen.png

Il est aisé de vérifier que fc(n) = Tq(n) pour tout entier n.



Chaque courbe y = f
c(x) est parfaitement délimitée par les droites y = x/2 et y = (2c-1/2)x + 1/2 .

Le problème de Syracuse correspond à la valeur c=1 sur l’ensemble des entiers positifs. L’intérêt de cette paramétrisation est de permettre une évolution continue du paramètre c dans l’ensemble des nombres réels, et d'étudier ainsi finement la transition entre les variantes convergentes sur les entiers (q=1 ou 3) et les variantes divergentes (q=5, 7, 9 ...).

Remarquons que les variantes du type « qx-1 » sont également obtenues en se plaçant du côté des nombres négatifs. En effet, si q est un entier impair et n un entier positif , on aura :

tex_collatz3_gen_5.png

Diagrammes de bifurcation

Le comportement des itérations successives de fc pour un même point initial peut changer qualitativement suivant les valeurs du paramètre c : on observe souvent un dédoublement des points attractifs. Ainsi la convergence vers un point fixe cédera la place à un cycle de 2 points attractifs, puis 4, 8, 16 ... L'issue de ce processus en cascade est souvent l'irruption d'un régime chaotique. Ce phénomène, intrinsèquement présent dans nombre de systèmes dynamiques, a un caractère universel.

Les diagrammes de bifurcation permettent de représenter sur une seule image les points d'accumulation obtenus par itération de la fonction fc sur une plage de valeurs du paramètre c, en abscisse. On observera ainsi des structures arborescentes avec de nombreuses ramifications et l'apparition de régimes chaotiques localisés. La visulalisation des densités de probabilité est possible avec l'utilisation de plusieurs niveaux de gris (échelle logarithmique).

Par exemple, lorsque c>1/4, le comportement itératif de fdans l'intervalle [0 ; 2,5] est modifié pour les valeurs de c suivantes :

  • 0,457746...  :
apparition de la branche principale
  • 0,733363...  :
ramification de la branche principale en deux branches
  • 0,991154...  :
apparition d'une deuxième double-branche sur laquelle on trouve le cycle {1,192531…; 2,138656…} de la fonction f1  
  • 1,000968... :
disparition de la double-branche issue de la branche principale sur laquelle on trouve le cycle {1; 2}de la fonction f1  
  • 1,010029... :
début de la ramification en cascade de la deuxième double-branche
  • 1,019763... :
début du régime chaotique
  • 1,119769... :
régime chaotique non-borné



0,4 < c < 1,55
0,98 < c < 1,13

Notons que la valeur c=1 se trouve précisément à l'intérieur de l'étroite bande [
0,991154... ; 1,000968...] dans laquelle coexistent 2 cycles attracteurs de période 2.

Diagrammes d'attraction

A chaque diagramme de bifurcation, il est possible d'associer un diagramme d'attraction, sur lequel on visualise l'évolution continue des bassins d'attraction de la fonction fc dans l'ensemble des réels sur une plage de valeurs du paramètre c, en abscisse. Les images suivantes illustrent l’effet des ramifications de cycles attracteurs sur les bassins d’attraction, de plus en plus intriqués.

Diagramme d'attraction de fc 
0,979 < c < 1,038

Diagramme d'attraction de 
fc
-0,166 < c < 2,166

Sur le diagramme ci-dessous, on visualise la frontière des bassins d'attraction en noir, et les attracteurs en rouge :


Diagramme de bifurcation et
contours des bassins d'attraction
0,98 < c < 1,13
 




Analyse asymptotique

On s'intéressera dans cette partie au pouvoir attractif de l'infini, sur les réels non-entiers.

Voici les questions qui vont être traitées,
plus précisémment  :
- comment prédire le comportement asymptotique moyen des itérés au voisinage de l'infini ?
- à quelle vitesse moyenne se produit, selon les cas, la croissance ou la décroissance des itérations au voisinage de l'infini ?
- pour quelles valeurs du paramètre c la famille de fonctions {fc} bascule-t-elle d'un comportement moyen décroissant à un comportement moyen divergent à l'infini ?

Pour connaître le comportement
asymptotique moyen des itérés, il faudrait estimer la valeur moyenne du rapport  fc(x)/x. En effet, si l'on dispose d'une telle valeur moyenne Tau_c, alors on pourra essayer de déterminer la croissance ou la décroissance sur un grand nombre d'itérations, et sous certaines conditions.

Or la fonction fc(x)/x possède une asymptote sinusoïdale y = c-(c-1/2)cos(pi x), de période 2. :

Courbes y = f1(x)/x, en bleu, et y = 1 - 1/2 cos(pi x) , en rouge


La moyenne géométrique de la courbe asymptote, sur une période, a la valeur suivante :




Pour c=1, on obtient la valeur moyenne  Tau_1 = (2+sqrt(3))/4 = 0,933012...

On vérifie aisément que  Tau_c < 1 si et seulement si  1/4 < c < 5/2 - sqrt(2) .

Il semble ainsi que les seuils du basculement entre les comportements globalement décroissants puis croissants se produisent lorsque c = -3/2  et c =
5/2-sqrt(2) = 1,085786...

Ceci nous amène à énoncer la conjecture suivante :

CONJECTURE
Les itérations de la fonction fc sont décroissantes en moyenne pour presque tout réel x au voisinage de  +-(infini) , si et seulement si on a :  1/4 < c < 5/2 - sqrt(2)


Une application numérique simple permet de vérifier pour différentes valeurs de c, et x aléatoirement choisi entre -10150 et 
10150,  que le taux moyen de croissance est souvent très proche de Tau_c :


Comparaison du taux moyen de croissance sur 1000 itérations
avec les valeurs asymptotiques
Tau_c (en rouge)

Cependant
tous les réels x au voisinage de (infini) ne vont pas se comporter ainsi. Par exemple les nombreux points fixes auront un taux de croissance toujours égal à 1, et les puissances de 2 un taux égal à 1/2, pour toute valeur de c.

On  montre que si c>1/4, alors une condition suffisante pour que le taux moyen de croissance d'un réel x suffisamment grand soit proche de Tau_c est que la discrépance modulo 2 de ses itérés soit faible : les valeurs modulo 2 de ses itérés successifs doivent être réparties assez uniformément dans l'intervalle [0 ; 2)   [Lyg14] .

Lorsque c ≤ 1/4, cette condition n'est pas suffisante car la fonction fc possède alors une infinité de zéros (voir graphe) au voisinage de  (infini) Il faut analyser plus finement la répartition des itérés et la proximité éventuelle des zéros de la fonction fc.



Perspectives

J'espère avoir apporté un éclairage original et une meilleure compréhension du problème de Syracuse. Diverses interprétations laissent entrevoir des connexions déroutantes dans des domaines parfois éloignés. Ainsi, le prolongement de la fonction de Collatz aux nombres réels et complexes élargit l'espace de recherche et amène toute une panoplie de nouveaux outils. En particulier, l'analyse asymptotique des itérations suggère que nous sommes proches de la frontière entre croissance et décroissance. Or c'est justement au voisinage d'une telle frontière que se multiplient les comportements chaotiques complexes inhérents à de nombreux systèmes dynamiques. De plus, nous avons récemment établi [Lyg14] l'existence de liens étroits entre le problème de Syracuse et la dynamique de l'extension réelle proposée.

La même méthode
est applicable à d'autres extensions réelles et complexes issues de diverses publications. Par exemple, une extension continue et linéaire par morceaux semble à la fois simple et naturelle. La dynamique est alors toute autre car la forte pente au voisinage des entiers fait disparaître les bassins d'attraction.

Nous avons aussi mentionné les
problèmes «qx+1» en tant que variantes du problème de Syracuse. Beaucoup d'autres généralisations sont possibles. On pourra consulter les divers ouvrages bibliographiques réalisés par Marc Chamberland [Cha03], Jeffrey Lagarias [Lag-I] [Lag-II] [Lag11] et Günter Wirsching [Wir98] pour une synthèse détaillée des connaissances autour du problème de Syracuse et ses nombreux avatars.

En dépit des progrès effectués par intermittence, la résolution du problème de Syracuse parait toujours hors de portée. Les mathématiques sous-jacentes sont-elles encore en gestation ? Ou existe-t-il une difficulté intrinsèque d'un autre ordre ?



Annexe

Autres extensions

  • Extension de T sur R+, continue et linéaire par morceaux 

            


  • Extensions de T sur C, continues, proposées par J. Dumont et C. Reiter [Dum01]  [Dum03]

La fonction W(z), nommée "Winding", ne préserve pas les réels.


  • Extension de T sur C, continue, proposée par S. Letherman, D. Schleicher et R. Wood [Let99]

Les entiers sont des points critiques.


  • Extension de C sur C, non-continue, proposée par J. L. Pe [Pe04]

F(z) = 3z+1 si ceiling(|z|) est impair, z/2 sinon

  • Extension de C sur Ccontinue, proposée par Gilles Godefroy :

Cette extension ne préserve pas les réels.


Références

[Aou90] A. Aoufi & O. Rozier, Le problème de Syracuse dans C, Singularité N°5 (1990).

[App95] D. Applegate & J. Lagarias, Density bounds for the 3x+1 problem. II. Krasikov inequalities, Math. Comp. 64 (1995).

[Bar98] E. Barone, Una argumentazione euristica probabilistica sulla successione di Collatz, Ital. J. Pure Appl. Math. 4 (1998).

[Cha96] M. Chamberland, A Continuous Extension of the 3x+1 Problem to the Real Line, Dyn. of Contin., Discrete and Impuls. Syst.,  2 (1996).

[Cha03] M. Chamberland, An Update on the 3x+1 Problem (2003).

[Cra78] R. E. Crandall, On the 3x+1 Problem, Math. Comp. 32 (1978).

[Del98] J-P. Delahaye, La conjecture de Syracuse, Pour La Science N°247 (1998).

[Dum01] J. Dumont & C. Reiter, Visualizing generalized 3x+1 function dynamics, Computers & Graphics, Volume 25, Issue 5 (2001).

[Dum03] J. Dumont & C. Reiter, Real dynamics of a 3-power extension of the 3x+1 function, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Volume 10 (2003).

[Eli93] S. Eliahou, The 3x+1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths, Discrete Mathematics, 118 (1993).

[Eli11] S. Eliahou, Le problème 3n+1 : y a-t-il des cycles non triviaux ? (III), sur le site Images des mathématiques (2011).

[Lag85] J. Lagarias: The 3x+1 problem and its generalizations, American Mathematical Monthly, Volume 92 (1985).

[Lag-I] J. Lagarias, The 3x+1 problem annotated bibliography (1963-1999) (2011).

[Lag-II] J. Lagarias, The 3x+1 problem annotated bibliography, II (2000-2009) (2012).

[Lag11] J. Lagarias,  The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem, American Mathematical Monthly (2010).

[Let99] S. Letherman, D. Schleicher & R. Wood,  The 3n+1 Problem and Holomorphic Dynamics,  Experimental Mathematics, Volume 8, Issue 3 (1999).

[Lyg14] N. Lygeros & O. Rozier,  Dynamique du problème 3x+1 sur la droite réelle, Ratio Matematica 26 (2014).

[Pe04] J.L. Pe, The 3x+1 Fractal, Computers & Graphics, Volume 28, Issue 3 (2004).

[Roz90] O. Rozier, Démonstration de l'absence de cycles d'une certaine forme pour le problème de Syracuse, Singularité N°3 (1990).

[Roz91] O. Rozier, Problème de Syracuse: "Majorations" élémentaires des cycles, Singularité Volume 2 N°5 (1991).

[Roz17] O. Rozier, The 3x+1 problem: a lower bound hypothesis, Funct. Approx. Comment. Math. 56 (2017).

[Sin03] M. Sinisalo, On the minimal cycle lengths of the Collatz sequences (2003).

[Ter76] R. Terras, A stopping time problem on the positive integers, Acta Arith. 35 (1976).

[Ter79] R. Terras, On the existence of a density, Acta Arith. 30 (1979).

[Ura02] T. Urata, Some holomorphic functions connected with the Collatz Problem, Bull. Aichi University of Education, 51 (2002).

[Wir98] G.J. Wirsching, The Dynamical System Generated by the 3n+1 Function, Springer-Verlag (1998).

Liens

Wikipedia (site français) : Conjecture de Syracuse
Wikipedia (site anglais) : Collatz conjecture
Tomás Oliveira e Silva : Computational verification of the 3x+1 conjecture
Eric Roosendaal : On the 3x + 1 problem

Jeffrey C. Lagarias : 3x+1 problem and related problems
Marc Chamberland :  The 3x+1 Problem  
Clifford A. Reiter :  Complex dynamics of some generalizations of the 3x+1 function
Claude Terracol : Conjecture de Syracuse
Fabien Toulgoat : Conjecture de Syracuse
R. S. : Blog mathSyracuse
(nouveau livre sur la conjecture de Syracuse - avril 2016)



Merci à J-P Delahaye pour ses encouragements, à Charles Vassallo pour ses précieux conseils, à Nik Lygeros et Claude Chaunier sans qui cette page n'aurait jamais vu le jour, à Claude Terracol pour les échanges fructueux que nous avons eus.


Olivier Rozier (C) 2008-2017